물리 우주론에서 우주의 형태는 물리적인 우주의 지역적 및 대역적 기하학으로 설명됩니다. 우주 기하학의 지역적인 특징은 주로 곡률을 통해 설명되는 반면, 우주의 위상수학은 우주의 모양에 대한 일반적인 대역적 특성을 연속적인 객체로 설명합니다.
공간의 곡률은 중력의 영향으로 인해 시공간이 어떻게 휘어지는지를 설명하는 일반 상대성 이론에 의해 나타납니다. 공간적 위상수학은 이러한 곡률로부터 결정될 수 없으며, 이는 다른 위상적 불변성들을 가진 지역적으로 구별할 수 없는 공간들이 존재한다는 사실 때문입니다.
우주론자들은 관측 가능한 우주와 전체 우주를 구별하는데 노력하며, 관측 가능한 우주는 전체 우주의 일부로서 원칙적으로 천문학적 관측을 통해 이해할 수 있습니다. 우주론의 원리를 기반으로 하면, 관측 가능한 우주는 현대적인 시점에서 유사하며, 이를 통해 전체 우주의 특성을 논의할 수 있도록 허용됩니다. 이 맥락에서 중요한 논점은 우주가 관측 가능한 우주와 유사하게 유한한 지 또는 무한한지에 대한 것입니다.
우주의 몇 가지 잠재적인 위상 및 기하학적 특성을 이해해야 합니다. 이러한 속성 중 일부는 다음과 같습니다:
- 유계성 (우주가 유한한지 또는 무한한지)
- 평평함 (영의 곡률), 쌍곡면 (음의 곡률) 또는 구형 (양의 곡률)
- 연결성: 우주가 한 단일 연결된 공간 또는 다중 연결된 공간인지에 대한 특성
이러한 속성들 간에는 특정한 논리적 관련성이 있습니다. 예를 들어, 양의 곡률을 가진 우주는 반드시 유한해야 합니다. 문헌에서는 일반적으로 평평하거나 음의 곡률을 가진 우주가 무한하다고 가정되지만, 그 위상이 명백하지 않다면 반드시 그럴 필요는 없습니다. 예를 들어, 3-원환체를 통해 보인 것처럼 다중으로 연결된 공간은 평평하고 유한할 수 있습니다. 아직도 간단히 연결된 공간의 경우, 평평함은 무한을 의미합니다.
우주의 모양은 여전히 우주론에서 논쟁 중인 문제입니다. 관련 실험 데이터들은 우주가 평평하다는 것을 나타내며, 단순 연결성 대 다중 연결성의 문제는 여전히 불확실하며 2023년 현재 천문학적 관측을 통해 결정되지 않았습니다. 현재까지 충분히 큰 곡면 우주에서는 0이 아닌 곡률이 가능하며, 연결성, 곡률, 경계와 관련된 우주의 전체적인 모양을 설명하기 위한 공식적인 수학적 모형이 아직 구축되지 않았습니다.
물리 우주론은 일반 상대성 이론을 기반으로 하며, 아인슈타인의 장 방정식은 우주의 지역적 기하학적 특성만 결정하며 전체적인 위상수학에 대해서는 다루지 않습니다. 현재로서는 관측 데이터, 특히 우주 마이크로파 배경의 온도 변동에 의존하여 이러한 대역적 특성을 설명할 수 있는 유일한 가능성이 있습니다.
우주의 모양
만일 관측 가능한 우주가 전체 우주를 포함한다면, 관측을 통해 전체 우주의 구조를 결정할 수 있다. 그러나 만일 관측 가능한 우주가 전체 우주보다 작다면, 우리의 관측은 전체의 일부에만 국한되어, 우리는 측정을 통해 대역적 기하학을 결정하지 못할 수도 있습니다. 실험들을 통해서, 전체 우주의 대역적 기하학에 대한 다양한 수학적 모형들을 구축하는 것이 가능한데, 그것들 모두가 현재의 관측 데이터와 일치합니다. 따라서 관측 가능한 우주가 대역적 우주와 동일한지, 또는 훨씬 작은 크기인지 여부는 현재 알려지지 않았습니다. 우주는 일부 차원에서는 작을 수도 있고 다른 차원에서는 그렇지 않을 수도 있습니다(직육면체가 너비와 깊이 차원에서보다 길이 차원에서 더 긴 것과 유사). 주어진 수학적 모형이 우주를 정확하게 설명하는지 테스트하기 위해서, 과학자들은 한 모형의 새로운 의미들―아직 관측하지 않았지만 그 모형이 정확하다면 반드시 존재해야 하는 우주의 일부 현상들이 무엇인지―를 찾고 테스트하기 위한 실험들을 고안합니다. 이러한 현상이 발생하는지 여부. 예를 들면, 만일 우주가 한 작은 닫힌 고리라면, 반드시 같은 시대의 이미지는 아니지만, 하늘에 있는 한 천체의 다중 이미지들을 볼 수 있을 것으로 예상할 수 있습니다.
우주론자들은 일반적으로 공변 좌표라고 하는 시공간의 한 주어진 공간꼴 조각으로 작업하는데, 이것은 오늘날 물리 우주론에서 가능하고 또한 널리 받아들여지고 있는 선호되는 세트의 존재입니다. 관측할 수 있는 시공간의 단면은 후방 광추(우주 광 지평선 내의 모든 지점, 주어진 관측자에게 도달하는 데 주어진 시간)이며, 한편 관련 용어인 허블 부피는 과거의 광주 또는 마지막 산란의 표면까지 공변 하는 공간을 설명하는 데 사용할 수 있습니다. "우주의 모양(한 시점에서)"에 대해 말하는 것은 특수 상대성이론의 관점에서만 보면 존재론적으로 순진하다: 동시성의 상대성 때문에, 우리는 공간의 다른 지점들을 "같은 시점에" 존재한다거나 또는, 그러므로, "한 시점의 우주의 모양"이라고 말할 수는 없습니다. 그렇지만, 공변 하는 좌표들(만일 잘 정의된다면)은 대폭발(빅뱅) 이후의 시간(CMB 기준으로 측정된)을 한 확실한 보편적 시간으로 사용함으로써 그들에게 한 엄밀한 의미를 제공합니다.
우주 구조
대역적 구조는 전체 우주관측 가능한 우주와 그 너머의 둘 다 기하학과 위상수학을 다룹니다. 국소적 기하학이 대역적 기하학를 완전히 결정하지는 않지만, 특히 한 일정한 곡률의 어떤 기하학과 같은 가능성을 제한합니다. 우주는 종종 위상학적 결함이 없는 측지선 다양체로 간주됩니다; 이들 중 하나를 완화하면 그 분석이 상당히 복잡해집니다. 대역적 기하학은 한 국소적 기하학에 한 위상수학을 더한 것입니다. 그래서 한 위상수학만으로는 한 대역적 기하학을 제공하지 않습니다: 예를 들어, 유클리드 3-공간과 쌍곡 3-공간은 동일한 위상수학을 갖지만 다른 대역적 기하학들을 갖습니다.
우주의 대역적 구조에 대한 연구에서의 조사는 우주가 무한한지 또는 유한한지, 대역적 우주의 기하학이 평평한지, 양의 곡률인지, 또는 음의 곡률인지, 그리고 위상수학이 초구처럼 단일 연결되어 있는지, 또는 다중 연결되어 있는지 여부를 포함합니다. 공간의 차원성에 대한 철학적인 논의는 수세기에 걸쳐 다뤄졌으며, 최근에는 헬름홀츠 자유 에너지의 최적화를 포함하는 열역학 제2법칙 때문에 3차원이 선호되는 것으로 제안되었습니다.
우주가 무한한지 유한한지에 대한 질문은 유계성으로 언급되며, 이는 유한한 우주는 한 유한한 부피를 가지며, 예를 들어, 이론상으로는 유한한 양의 물질로 채워질 수 있지만, 무한한 우주는 비유계이고 어떤 숫자의 부피로도 채울 수 없다는 것을 의미합니다. 유한한 우주는 유계 거리 공간으로, 모든 점들이 서로의 거리 d 내에 있도록 하는 거리 d가 있습니다. 반면 무한한 우주는 임의로 멀리 떨어져 있는 점들이 있음을 의미합니다.
공간이 유한하다면, 가장자리를 가질 수도 있고 없을 수도 있습니다. 많은 유한한 수학적 공간들에는 한 가장자리나 경계가 있습니다. 하지만 3차원 초구 및 3-원환체와 같이 가장자리가 없는 유한한 공간도 있습니다. 이러한 공간을 경계가 없고 콤팩트하다고 합니다.
우주의 곡률은 위상수학에 제약을 가합니다. 구면기하학이 구형이라면, 위상수학은 콤팩트합니다. 평평한 또는 쌍곡선 공간 기하학의 경우, 위상수학은 콤팩트하거나 무한할 수 있습니다. 국소적 기하학이 일정한 곡률을 가지면, 대역적 기하학은 매우 제한됩니다.
우주 곡률 매개변수의 실제 값이 작으면 가장 강력한 미래 실험들도 평평하고, 열린 그리고 닫힌 우주를 구별할 수 없습니다. 만일 우주 곡률 매개변수의 실제 값이 크다면, 지금이라도 이 세 가지 모형들을 구별할 수 있습니다.
우주의 곡률이 영인 경우, 국소적 기하학은 평평합니다. 대역적 구조는 유클리드 공간의 구조와 유사합니다. 양의 곡률을 가진 우주는 타원기하학적이며, 3차원 초구 또는 다른 초구형 3-다양체로 설명될 수 있습니다. 음의 곡률을 가진 우주는 쌍곡기하학적이며, 다양한 형태의 쌍곡 3-다양체로 표현될 수 있습니다.
우주론자들이 "열려 있다" 또는 "닫혀 있다"라고 말할 때, 그들은 보통 곡률이 음수인지 또는 양수인지를 언급합니다. 이는 위상 공간에서의 열린 및 닫힌과는 다릅니다. 열린 우주는 닫힌 다양체거나 열린 다양체일 수 있습니다. 예를 들어, 프리드만-르메트르-로버트슨-워커(FLRW) 모형에서 우주는 경계가 없는 것으로 간주되며, 콤팩트한 우주는 닫힌 다양체인 어떤 우주를 나타낼 수 있습니다.
